Günlük hayatımızda çoğunlukla en fazla kullandığımız bilim dalı, matematiktir. Alışverişte, zaman kavramında, bilgisayar, yazılım, elektronik gibi teknolojik cihaz kullanımında hatta yemek yaparken bile… Aklımıza gelmeyecek pek çok yerde matematikten yardım alınır. Günlük aktivitelerimizi kolaylaştıran temel şey matematiktir. Bazı teoriler vardır ki; matematikçilerin çok iyi bildiği ve bilimsel çalışmalarında çok fazla kullandıkları bilgileri içerir. Matematikçilerin aşina olduğu bu bilimsel teoremler, belki orta okul belki de lise yıllarında hepimizin hayatında bilimsel çalışmalar olmasa da ders konusu olarak yer edinmiştir. Biz de sizler için matematikçilerin çok iyi bildiği, matematikçi olmayanların ise derslerden hatırlayacağı bilimsel teoriler listesini hazırladık. Keyifli okumalar!
1. Pisagor Teoremi
Pisagor teoremi ya da pisagor bağıntısı, Öklid geometrisindeki üçgenin kenarları arasındaki ilişkinin temelini açıklamaktadır. Pisagor teoremi ilk olarak; milattan önce yaşamış olan Pisagor tarafından ortaya atılmıştır. Kendi adıyla anılacak olan teoremi denklemleştiren İyonyalı filozof, sayıların babası olarak anılmaktadır. Matematikte en sık duyulan ve en sık kullanılan teoremlerden biri olan Pisagor teoremi, orta okul yıllarında hayatımıza girer. Tüm matematik hayatımızda yer alan Pisagor teoremi, trigonometrinin de temelini oluşturur. Matematik ve geometri dallarında sıklıkla kullanılan Pisagor teoremi yalnızca matematikçilerin değil, birçok kişinin iyi bildiği, çok fazla kullanımı olan bilimsel teoriler arasındadır. Pisagor teoremi dik kenarların karelerinin toplamının hipotenüsün karesine eşit olduğunu söyler. Kanunlaşmamış olsa da ispatlanmış bir teoridir.
2. Fermat’ın Son Teoremi
Amatörlerin Prensi olarak bilinen muhteşem matematikçi Pierre de Fermat, 17. yy’da yaşamış olan Fransız hukukçudur. Matematiğe hobi olarak başlayan Pierre de Feramat, olasılık teorisine, analitik geometriye ve sayılar teorisine büyük katkı sağlamıştır. Ancak Fermat’ın tanınmasını ve kendisine Amatörlerin prensi denmesini sağlayan, adını günümüzde bile taşıyan Fermat’ın son teoremidir. Fermat fenomen olmuş teoremini pisagor üçgenleri üzerinde çalışırken geliştirmiştir. Teorem, ax+bx=cx denkleminin x>2 değerleri için çözümü olmadığını anlatır. Fermat, bu denklemi ispatladığını Diophantus’un Arithmetica kitabının kenarına not alır. Notta, “Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non capret!” yazmaktadır. Türkçesi; “Teoremin müthiş bir kanıtını buldum fakat burada yazacak kadar yer yok.” olan not Fermat’ın vefatından yıllar sonra oğlu Samuel Clemant tarafından bulunmuştur. O zamandan sonra birçok matematikçi teorem üzerine çalışmış ancak, ispatlayamamıştır. Bu uğraşlara kimi matematikçi devam ederken kimi pes etmiştir. Bazı matematikçiler ise Fermat’ın yalan söylediğini, ispatı bulamadığını iddia etmiştir.
3. Faktöriyeller
Türkçe’den aşina olduğumuz “!” işareti, matematikte faktöriyel olarak adlandırılır. Örneğin; n! şeklinde yazılan işlem n faktöriyel olarak okunur. İlk olarak 1808 yılında Christian Kemp, n! Kavramını ortaya çıkarmıştır. Faktöriyeller, sayı kuramında, olasılık, bilişim ve yazılım uygulamalarında sıklıkla kullanılır. Tüm bunlara ek olarak; faktöriyeller çok büyük asal sayıların bulunmasında önemli bir rol oynar. Faktöriyeller, permütasyon ve kombinasyon işlemlerini de ortaya çıkarmıştır. Faktöriyelin ana mantığı, sayının kendisi ve 1’e kadar olan sayıların çarpılmasıdır. Örneklemek gerekirse; 7! = 7x6x5x4x3x2x1=5040 şeklinde hesaplanır. Ancak 0! = 1 olması ilginç bir durumdur. Bunun sebebi, olmayan bir nesnenin düzenlenmesini sağlayan yalnızca bir yol vardır. Birçok öğrencinin orta okul ve lise yıllarından anımsadığı faktöriyeller, matemetikçilerin ve yazılımcıların çok sık kullandığı birçok hesaplamada iyi bir iş bitirici olan bilimsel teoriler arasında ilk sıradadır.
4. Normal Eğri
Normal eğri olarak adlandırılan teorem, ilk olarak 1733 yılında Abraham de Moivre tarafından saptanmıştır. Carl Friedrich Gauss’un yaptığı değişiklikler ve geliştirmeler ile Gauss eğrisi olarak da bilinmektedir. Günümüzde özellikle üniversitelerde uygulanan çan eğrisi notlandırma sisteminin temeli normal eğriye dayanır. Aritmetik ortalama, mod, medyan ve standart sapma gibi kavramların uygulanmasında en çok rol normal eğriye aittir. İstatistik hesaplamalarında eğrinin tepe noktası baz alınarak sağında ve solunda kalan alanlarda işlem yapılır. Teknolojinin ilerlemesi ile bilgisayara taşınan bu hesaplamalar, normal eğrinin dijitalleşmiş halidir. Neredeyse tüm bilgisayar programlarında kullanılan normal eğri mantığı, birçok istatistikçilerin işlemlerini saniyeler içinde yapmasını sağlar. Bilimsel teoriler arasında dijitalleşmiş olan çok fonksiyonlu normal eğri, istatistikçilerin ve matematikçilerin iyi bildiği hesaplama teorilerindedir.
5. Gerçek Sayılar
Matematikteki sayılar sonsuzdur. En eski bilinen sayılar sayma sayılarıdır. Bunun sebebini mağarada yaşayan insanların, parmak sayımı yaptığından anlayabiliriz. Matematiğin gelişmesi, ile 0’ın dahil olduğu sayı grubunun, negatif sayıların, köklü sayıların ve kesirli sayıların varlığını ortaya çıkarmıştır. Bu gelişme de rasyonel sayıları, tam sayıları, doğal sayıları ve irrasyonel sayıları ortaya çıkarmıştır. Gerçek sayılar tüm bunları kapsayan küme olarak adlandırılır. İlk olarak sayılara tapan Yunan tarikat Pisagorcular, köklü sayıların ve pi sayısının varlığını keşfetmişlerdir. Ancak isimlendirememişler; bilinen sayılardan farklı sayılar olduğunu söylemişlerdir. Gerçek sayılar kümesine dahil, rasyonel ve irrasyonel sayıları sonsuza kadar devam eder. Bunların bulunuşu Pisagorculara dayansa da günümüzde halen ilerlemeye devam etmektedir. Negatif sayılar milattan sonra 600’lü yıllarda Hintli matematikçiler tarafından bulunmuş olsa da Avrupa’nın 1000 yıl kabullenmemesi nedeniyle daha geç ilerlemeye geçmiştir. Matematikte sayı kuramının bilinmesi mümkün değildir. Çünkü sayılar sonsuzluğa gider.
6. Asal Sayılar
Asal sayı kavramları, 1’den büyük olan ve kendisine ve 1’e bölünebilen sayıları gösterir. Asal sayıların pozitif sayılar arasında belirlenmesinin nedeni negatif sayıların -1’e, 1’ e ve sayının pozitif ve negatif haline de bölünebilmesidir. Örneğin; 7’nin bölenleri 7 ve 1 olmasına karşın, -7’nin -7,-1,1 ve 7’dir. Asal sayı bölenleri arasına 0 dahil edilmez. Çünkü sayının 0’a bölünmesi belirsizdir ve sonucu bulanamaz. Çift sayılar içinde ise yalnızca 2 asal sayıdır. Asal sayıların sayısı elbette ki bilinemez. Asal sayıların sonsuzluğunu ilk olarak İskenderiyeli Öklid milattan önce 3. yüzyılda ispatladı. Ancak o yıllarda negatif sayıların varlığı bilinmediği için negatif sayıların asallığı hakkında bir bilgi söylememiştir. (277,232,917-1) sayısı Pace tarafından kurulan ve belirsiz asal sayıları araştıran gönüllü bir grup tarafından bulunmuştur. Bilinen en büyük asal sayı rekoruna sahip bu sayı bir önceki Bilinen en büyük asal sayıdan bir milyon basamak öndedir. Bu sayı ortalama bir hızda yazıldığında sayının tamamının yazılması 54 gün sürecektir.
7. Cantor Teoremi
Türkçe’de “sonsuza kadar” ya da İngilizce’de “forever” gibi birçok dilde edebi olarak yerleşmiş kavramlar olsa da matematikçiler sonsuzluk kavramını uzun yıllar kabul etmemiştir. 19. yüzyıla kadar matematikte “sonsuzluk” kavramı yoktu. Sonsuzluk kavramını ortaya atan Greog Cantor, Berlin Üniversitesi’nde matematik öğrenimini dereceyle tamamlamış, mükemmel bir matematikçidir. Birçok başarıya imzasını atan Cantor, sonsuzluk kavramını da ilk kez ortaya atmıştır. Sonsuzluk kavramını ortaya atmasında kümeler kuramını kullanan Cantor, uzun çalışmalar sonucu sonsuzluğa değinmiştir. Cantor’dan önce Arşimet ve Galilei gibi matematikçilerin sezinlediği ve üzerinde çok çalıştığı, iyi bildiği her şeyi ortaya koyduğu tüm geçmiş bilimsel teoriler kullanılarak sonsuzluk kavramı ortaya çıkmıştır. Sonsuzluk kavramı için Cantor: “Evet sonsuzluk var. Ama bu bizim zihnimizin ulaşabileceği sınırlarda değil.” demiştir.
8. Gödel’in Eksiklik Teoremi
Kurt Gödel, hiçbir matematik sisteminin eksiksiz olamayacağını ortaya atmıştır. Gödel, eksiklik teoremi ilk olarak sınırlı aksiyomları içermiştir. Ancak sonrasında mantıksal sistem içerisinde ispatlanamayan fakat doğru olan önermeler yer almıştır. Bu sisteme Gödel, eksik bir sisteme aksiyom eklenmesinin de tamamlayamayacağını söylemiştir. Çünkü Gödel’e göre eklenen aksiyomlar, yeni bir sistem oluşturur ve doğal olarak yine eksik kalır. Birbirinin zıttı olan kanıtlanamayan teorilerin ikisi de Gödel’e göre kesiktir. Örneğin; uzayın düz olduğunu iddia eden Öklid geometrisi ve eğri olduğunu söyleyen Riemann geometrisi aynı oranda eksiktir. Soyut matematikte çok fazla örnekleme yapılan, somut matematikte soyutta olmasa da iyi denebilecek küme örnekleri olan, matematikçilerin bildiği Gödel Eksiklik Teoremi ismen olmasa da kullanımlarıyla karşımıza çıkan yegane bilimsel teoriler arasındadır.
9. Goldbach Kestirimi
İlk olarak 1742 yılında ortaya çıkan, Goldbach kestirimi, 300 yıla yakın süredir çözülemeyen bir problemdir. Goldbach kestirimi, 7’den büyük tek sayıların en fazla 3 asal sayının toplamı olarak yazılabileceğini söyler. Goldbach kestirimi, Leonhard Euler’in 2’den büyük her çift sayının 2 asal sayının toplamı olarak yazılabileceğini söylemesiyle ortaya atılmıştır. Ancak iki problem de en yetenekli matematikçilerin dahi çok büyük uğraşlar verip, iyi ve kötü tüm bilimsel verileri deneyip çözemediği teoriler arasındadır. Matematikçiler bilgisayar yardımıyla en fazla 19 basamağa kadar ulaşmış ancak kesin bir yargıya varamamışlardır. Uzun yıllar uğraşılmasına karşın çözülemeyen problemi birçok matematikçi çözmek için çalışmalar yapmıştır. Hipotez türlü denemelerle desteklenmiş, ancak tam olarak ispatlanmamıştır.
10. Binom Teoremi
Matematikte en sık kullanılan işlemlerden biri (x+y)n’dir. Bu işlemde x ve y herhangi bir sayı, n tam sayıdır. Kısa ve basit işlemlerde kolaylıkla yapılan bu işlem, uzun ve karmaşık işlemlerde ve büyük sayılarda binom açılımı ile kolaylıkla yapılabilmektedir. Bu ifadenin eşiti z+t=n olacak şekilde bütün terimler xzyt şeklinde yazılır. Bu sayıların katsayılarına binom katsayısı denir. Bilişim işlemlerinde sıklıkla kullanılan binom açılımı, faktöriyel, toplam ve çarpım sembolü yardımıyla da bulunabilir. Cebir, denklem ve limit gibi ileri düzey matematik konularının temelini oluşturan binom açılımı, Pascal üçgeni üzerinden kolaylıkla öğrenilebilir. Pascal üçgeni ile matematik işlemleri çok daha kolaylaşır ve ileri konulara temel oluşturur. Bilimsel teoriler arasında ilkokul yıllarında tek tanıştığımız teorem olan binom teoremi, birçok kişinin okul yıllarından iyi bildiği, matematikçilerin ispat işlemlerinde çok kullandığı işlemdir.
